מתמטריק
חפיפת משולשים: משפט ז.צ.זגאומטריה 571 · שיעור 9
גאומטריה 571 · מתחילים מהיסודות

שיעור 9: חפיפת משולשים: משפט ז.צ.ז

פרק 3 · חפיפת משולשים
1משפט חפיפה ז.צ.ז
2זוויות מתחלפות, קדקודיות וזווית משותפת בהוכחות
34 תרגילים, כולל הוכחת משפט הפוך ותרגיל מורכב
משפט
חפיפת משולשים: ז.צ.ז
∢B = ∢E
זווית
BC = EF
הצלע שבין שתי הזוויות
∢C = ∢F
זווית
△ABC ≅ △DEF
ז.צ.ז
📐 משפט חפיפה ז.צ.ז: שתי זוויות והצלע שביניהן שוות ← המשולשים חופפים
ABCDEF
📐 משפט חפיפה
ז.צ.ז: שתי זוויות והצלע שביניהן
תרגיל 1 · ז.צ.ז עם מקבילים · בינוני
הקטעים AD ו־BC נחתכים בנקודה O. נתון: AB ∥ CD , AO = OD
הוכיחו: AB = DC ו־BO = OC
AB ∥ CD , AO = OD
נתון
∢A = ∢D
בין ישרים מקבילים זוויות מתחלפות שוות (החותך AD)
AO = OD
נתון (הצלע שבין הזוויות)
∢AOB = ∢DOC
זוויות קדקודיות
△AOB ≅ △DOC
ז.צ.ז
AB = DC
במשולשים חופפים צלעות מתאימות שוות
BO = OC
במשולשים חופפים צלעות מתאימות שוות
✅ פתרון סופי: הוכחנו: AB = DC , BO = OC
AOBCD
📐 משפט
בין ישרים מקבילים: זוויות מתחלפות שוות
📐 משפט
זוויות קדקודיות שוות זו לזו
∢1 = ∢3
📐 משפט חפיפה
ז.צ.ז: שתי זוויות והצלע שביניהן
📐 כלל
במשולשים חופפים: צלעות מתאימות שוות וזוויות מתאימות שוות
תרגיל 2 · הוכחת משפט הפוך משיעור 6
במשולש ABC הקטע AD חוצה את ∢A וגם גובה ל־BC
הוכיחו בעזרת חפיפה: AB = AC
AD חוצה את ∢A , AD ⊥ BC
נתון
∢BAD = ∢CAD
AD חוצה זווית
AD = AD
צלע משותפת (בין שתי הזוויות)
∢ADB = ∢ADC = 90
AD גובה
△ABD ≅ △ACD
ז.צ.ז
AB = AC
במשולשים חופפים צלעות מתאימות שוות
✅ פתרון סופי: הוכחנו: AB = AC – המשולש שווה שוקיים
ABCD
📐 הגדרה
חוצה זווית: מחלק את הזווית לשתי זוויות שוות
📐 כלל
צלע משותפת / זווית משותפת שווה לעצמה
📐 הגדרה
גובה: אנך מקדקוד לצלע שמולו
📐 משפט חפיפה
ז.צ.ז: שתי זוויות והצלע שביניהן
📐 כלל
במשולשים חופפים: צלעות מתאימות שוות וזוויות מתאימות שוות
תרגיל 3 · חפיפה ומשוואה · קל
נתון: ∢B = ∢E , BC = EF , ∢C = ∢F
AB = 3y − 1 , DE = 2y + 4. מצאו את y ואת AB
∢B = ∢E , BC = EF , ∢C = ∢F
נתון
△ABC ≅ △DEF
ז.צ.ז
AB = DE
במשולשים חופפים צלעות מתאימות שוות
3y − 1 = 2y + 4
מציבים
3y − 2y = 4 + 1 ⟹ y = 5
מעבירים אגפים וכינוס
AB = 3 · 5 − 1 = 14 , DE = 2 · 5 + 4 = 14 ✔
מציבים y = 5
✅ פתרון סופי: y = 5 , AB = DE = 14
ABCDEF3y − 12y + 41414
📐 משפט חפיפה
ז.צ.ז: שתי זוויות והצלע שביניהן
📐 כלל
במשולשים חופפים: צלעות מתאימות שוות וזוויות מתאימות שוות
📐 כלל
מציבים את הערך שמצאנו בביטוי
📐 כלל
מעבירים איבר לאגף השני ומחליפים לו את הסימן
a + b = c ⟹ a = c − b
תרגיל 4 · מורכב: שתי חפיפות בשרטוט אחד
במשולש ABC: AB = AC. D על AB ו־E על AC, ונתון ∢ABE = ∢ACD
הוכיחו: BE = CD , וגם המשולש ADE שווה שוקיים
מסתכלים על המשולשים ABE ו־ACD
∢A = ∢A
זווית משותפת
AB = AC
נתון (צלע)
∢ABE = ∢ACD
נתון (זווית)
△ABE ≅ △ACD
ז.צ.ז: הצלע AB / AC בין שתי הזוויות
BE = CD
במשולשים חופפים צלעות מתאימות שוות
AE = AD
במשולשים חופפים צלעות מתאימות שוות
△ADE שווה שוקיים
שתי צלעות שוות
✅ פתרון סופי: הוכחנו: BE = CD , AD = AE
ABCDE
📐 כלל
צלע משותפת / זווית משותפת שווה לעצמה
📐 משפט חפיפה
ז.צ.ז: שתי זוויות והצלע שביניהן
📐 כלל
במשולשים חופפים: צלעות מתאימות שוות וזוויות מתאימות שוות
📐 הגדרה
משולש שווה שוקיים: שתי צלעות שוות (השוקיים). הצלע השלישית היא הבסיס

📌 מה למדנו היום

📐 משפט חפיפה
ז.צ.ז: שתי זוויות והצלע שביניהן
📐 כלל
במשולשים חופפים: צלעות מתאימות שוות וזוויות מתאימות שוות
📐 כלל
צלע משותפת / זווית משותפת שווה לעצמה
💡 ב־ז.צ.ז הצלע חייבת להיות בין שתי הזוויות. זוויות שוות מוצאים מ: מקבילים, קדקודיות, חוצה זווית, זווית משותפת.
מתמטריק
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא